CAP任务数学建模

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本文参考自AD-A241986论文

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场景

我们首先称在特定地理位置上的一组需要部署防空的敏感点，作目标区域。空袭都是由战斗机 - 轰炸机来执行渗透式打击，他们会在某个特定渗透点进入目标区域。而目标区域都是由集成式防空系统（IADS）来保护免受空袭。IADS作为路基系统可以提供早期预警雷达（EWR）探测和指挥控制通信（C3）能力，而在特定机场上也会部署有特定数量的防空拦截机提供空中防卫，这些防空拦截机在起飞后会在渗透区前进行战斗空中巡逻，即CAP。这些歼击机会去拦截并和来袭敌机进行交战，他们也会在巡逻期间没有看到来犯敌机时，在到达预定巡逻时间后返航。目标区域周围存在一个由防卫该区域的防空武器的有效射程确定的空中空间体积。防空拦截机不得飞越这个空间体积，以免被友方武器击中。为了完成任务，拦截机必须在敌机飞入此体积之前或之中摧毁尽可能多的攻击机。

问题定义

问题条件：

• 目标区域
• 空军基地位置
• 袭击的突防角度扇区，以目标区域位置为中心测量
• 从目标区域位置测量的雷达网络的预警范围
• 目标区域的地对空导弹有效范围
• 根据拦截机的最大数量、挂载库存，确定放置战斗空中巡逻（CAP）点的位置，以最大程度地提高敌机在到达防空防线之前由空中拦截机摧毁的预计数量。

空战模型

对于单个空中拦截单位（AI）单轮发射能达成击杀（PK）的概率模型如下：

[math]\displaystyle{ PK=P_{ai}\ P_v\ P_d\ P_t\ P_c\ P_l\ SSPK }[/math]

其中：

• [math]\displaystyle{ P_{ai} }[/math] 是存在AI单位且收到拦截警报的概率
• [math]\displaystyle{ P_{v} }[/math] 是AI单位正确朝向拦截航向的概率，此概率前提是存在[math]\displaystyle{ P_{ai} }[/math]
• [math]\displaystyle{ P_{d} }[/math] 是AI单位探测到目标的概率，此值前提是正确拦截航向
• [math]\displaystyle{ P_{t} }[/math] 是AI单位雷达能正常追踪目标信号的概率，此值前提是能探测到目标
• [math]\displaystyle{ P_{c} }[/math] 是AI单位进行能量转换概率，此值前提是正常追踪目标
• [math]\displaystyle{ P_{l} }[/math] 是AI单位发射武器概率，此值前提是进行能量转换
• [math]\displaystyle{ SSPK }[/math] 单轮发射能达成一次击杀的概率

可以代入以下3种拦截状况：

• 雷达弹对头：使用AI的机载雷达并单次发射两枚导弹
• 雷达弹尾追：使用AI的机载雷达并单次发射两枚导弹
• 红外/视觉图像：尾追并使用光电传感器，单次进攻发射两枚红外弹

此时单轮发射击中概率可以细化为：

[math]\displaystyle{ \begin{align*} Pk_{T/E}&=Pd_{T/E}\cdot \{1-PS_{T/R}\cdot PS_{T/gun}\}\\ Pk_{H/E}&=Pd_{H/E}\cdot \{1-PS_{H/IR}\cdot PS_{H/gun} \cdot PS_{T/IR}\cdot PS_{T/gun}\}\\ Pk_{T/R}&=Pd_{T/R}\cdot \{1-PS_{T/R}\cdot PS_{T/IR}\cdot PS_{T/gun}\}\\ Pk_{H/R}&=Pd_{H/R}\cdot \{1-PS_{H/R}\cdot PS_{T/R}\cdot PS_{T/IR}\cdot PS_{T/gun}\} \end{align*} }[/math]

其中：

• [math]\displaystyle{ Pk_{T/E} }[/math] 从尾追时使用光电锁定目标开始，一对一的情况下AI单位击杀来犯者的几率
• [math]\displaystyle{ Pk_{H/E} }[/math] 从对头时使用光电锁定目标开始，一对一的情况下AI单位击杀来犯者的几率
• [math]\displaystyle{ Pk_{T/R} }[/math] 从尾追时使用雷达锁定目标开始，一对一的情况下AI单位击杀来犯者的几率
• [math]\displaystyle{ Pk_{H/R} }[/math] 从对头时使用雷达锁定目标开始，一对一的情况下AI单位击杀来犯者的几率

这些公式中拦截机武器击杀概率的前提是存在拦截机探测（和跟踪）目标的概率，即公式中的[math]\displaystyle{ Pd }[/math]。而公式中的[math]\displaystyle{ PS }[/math]代表了入侵机在拦截机的攻击/交汇后存活的概率。此值认为与前一轮交汇的存活概率无关。

在论文中这些公式也会考虑在恶劣环境状态下的效果。根据入侵者可能的战术，降低被拦截概率的战术可以分为以下6类：

• 电子反制（ECM）
• 红外反制（IRCM）
• 光学迷彩
• 逃逸机动
• 低雷达散射面积（RCS）
• 致命性自卫措施

CAP任务模型

ADA241986论文中介绍了一种描述CAP执勤时的模型。第一个问题是讨论如何确定单个CAP区需要多少架空中拦截单位。 在确定了CAP任务的必要性后，下个问题是需要多少个永久的CAP区。 以下是变量定义。

变量

• [math]\displaystyle{ v_a }[/math]：来犯敌机的速度
• [math]\displaystyle{ v_i }[/math]：拦截单位速度
• [math]\displaystyle{ t_{ID} }[/math]：从预警雷达首次检测到攻击者到被明确识别为敌对所花时间(identification and detection)
• [math]\displaystyle{ t_{AI} }[/math]：所属地面警报拦截单位的飞机从收到紧急升空警报到从基地起飞所花时间
• [math]\displaystyle{ t_{initc} }[/math]：从开始拦截到与被拦截者交战所花时间
• [math]\displaystyle{ t_{cmb} }[/math]：拦截机能与被拦截者进行空对空战斗的最长时间
• [math]\displaystyle{ t_{rec} }[/math]：拦截机从完成任务到飞回空军基地所需的时间长度
• [math]\displaystyle{ t_{oc} }[/math]：拦截机从空军基地飞到 CAP 负责区所需的时间
• [math]\displaystyle{ t_{bc} }[/math]：拦截单位从巡逻区回到基地所花时间
• [math]\displaystyle{ C_R }[/math]：机场的地勤组数量
• [math]\displaystyle{ t_{rep} }[/math]：地勤维修一架飞机的时间
• [math]\displaystyle{ t_m }[/math]：在没有敌机来犯的情况下拦截单位可以待在巡逻区的最大时间
• [math]\displaystyle{ t_a }[/math]：两组连续的敌机来犯时平均间隔时间
• [math]\displaystyle{ R }[/math]：雷达侦察到第一个目标的水平距离。如：C3单位侦察到第一个单位的距离
• [math]\displaystyle{ I }[/math]：敌我鉴别距离。目标被鉴别为敌人（hostile）时的距离。

[math]\displaystyle{ h }[/math]是防空武器有效距离，例如拦截机必须摧毁/压制攻击机的距目标的最小距离。[math]\displaystyle{ \theta }[/math]是空军基地到目标的连线与攻击机航迹经过目标的连线构成的夹角。[math]\displaystyle{ \theta \ge 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ t_{D} }[/math]是攻击机被发现到拦截开始的延迟时间。

[math]\displaystyle{ t_D=t_{ID}+t_{AI} }[/math]

让[math]\displaystyle{ K = \frac{v_i}{v_a} }[/math]，[math]\displaystyle{ K \ge 0 }[/math]. K代表拦截机与攻击机直接的空速关系。

确定CAP需求

图1中，假设攻击机在目标T距离R处被探测到。[math]\displaystyle{ C^3 }[/math]系统花费[math]\displaystyle{ t_{ID} }[/math]个单位时间来识别攻击机为敌机，然后命令拦截机紧急起飞，此时攻击机离目标距离为I。拦截机将花费[math]\displaystyle{ t_{AI} }[/math]个单位时间起飞。假设拦截程序在拦截机起飞后立刻开始，此时攻击机离目标距离为P。如果拦截发生离目标距离S，考虑速度关系K，攻击机在拦截中走过的距离为(P-S)，拦截机走过的距离是K(P-S)。利用余弦定律可以求解S的表达式

[math]\displaystyle{ K^2(P-S)^2 = d^2 + S^2 - 2d S \cos \theta }[/math]

展开合并同类项

[math]\displaystyle{ {S^2} + 2S\left( {\frac{{d\cos \theta - {K^2}P}}{{{K^2} - 1}}} \right) - \frac{{{d^2} - {K^2}{P^2}}}{{{K^2} - 1}} = 0 }[/math]

求解得到S的表达式为：

[math]\displaystyle{ S = \frac{{{K^2}P - d\cos \theta \pm \sqrt {{K^2}{P^2} - 2d\cos \theta {K^2}P + {d^2}{{\cos }^2}\theta + {K^2}{d^2} - {d^2}} }}{{{K^2} - 1}} }[/math]

S的解有两个，考虑到对于所有的K>0, S必须连续，将K逼近于1，可以排除掉一个解。因此S的表达式为

[math]\displaystyle{ S = \frac{{{K^2}P - d\cos \theta - \sqrt {{K^2}{P^2} - 2d\cos \theta {K^2}P + {d^2}{{\cos }^2}\theta + {K^2}{d^2} - {d^2}} }}{{{K^2} - 1}} }[/math]

考虑[math]\displaystyle{ P = R - t_D \cdot v_a }[/math]，带入S表达式。当K >0 且 K ≠ 1时，根号内必须大于零，可以得到K的第三个条件：

[math]\displaystyle{ K \ge \left| {\frac{{d\sin \theta }}{{\sqrt {{{\left( {R - {t_D}{v_a} - d\cos \theta } \right)}^2} + {d^2}{{\sin }^2}\theta } }}} \right| }[/math]

只有当攻击机在距离h外被拦截机击毁/压制才能称之为有效拦截。拦截机必须有足够的时间与攻击机空战并发射武器。因此，考虑攻击机进场（inbound）的情况，从图1中可以得到，最小拦截距离[math]\displaystyle{ S_{min}=h + t_{cmb} \cdot v_a }[/math]。根据P、S、θ之间的关系 [math]\displaystyle{ K^2(P-S)^2 = d^2 + S^2 - 2d S \cos \theta }[/math]

P的位置可以确定下来：

[math]\displaystyle{ P = S + \frac{{\sqrt {{{\left( {d - S\cos \theta } \right)}^2} + {S^2}{{\sin }^2}\theta } }}{K} }[/math]

考虑到[math]\displaystyle{ S=h+t_{cmb} }[/math]且[math]\displaystyle{ P=R-t_D \cdot v_a }[/math]，有效拦截情况下最小雷达首次探测距离[math]\displaystyle{ R_{min} }[/math]可以表示为

[math]\displaystyle{ R_{min} = h + {v_a}\left( {{t_D} + {t_{cmb}}} \right) + \frac{{\sqrt {{{\left( {d - \left( {h + {t_{cmb}}{v_a}} \right)} \right)}^2} + {{\left( {h + {t_{cmb}}{v_a}} \right)}^2}{{\sin }^2}\theta } }}{K} }[/math]

每个CAP任务的飞机需求

影响能够永久激活的CAP站位的最大数量的一个因素是维持一个激活的CAP站位所需的最小飞机数量。用a代表这个值。

考虑CAP站位处于激活状态但攻击机暂未抵达的场景来推导a的表达式。

第一架前往CAP站位的拦截机在t=0时起飞并于 [math]\displaystyle{ t=t_{oc} }[/math]时抵达。由于没有攻击机，拦截机将于[math]\displaystyle{ t=t_{oc}+t_m }[/math]时飞回基地。这意味着在时间[math]\displaystyle{ t = t0 + t1 }[/math]时，第二架截击机必须已经到达CAP站位接替第一个截击机，这意味着第二架截击机在[math]\displaystyle{ t=t_{oc}+t_m-t_{oc}=t_m }[/math]时起飞。在[math]\displaystyle{ t=t_{oc}+2t_m }[/math]时第二架拦截机返航，在[math]\displaystyle{ t=2t_m }[/math]时第三架拦截机起飞。同时第一架拦截机可以在[math]\displaystyle{ t=t_{oc}+t_m+t_{bc}+t_{rep}+t_{Al} }[/math]再次起飞前往CAP站位。第二架、第三架同理。上述过程会一直重复直到攻击机达到。

假设[math]\displaystyle{ 2t_{oc}\gt 0 }[/math]且[math]\displaystyle{ t_{bc}+t_{rep}+t_{Al}\gt 0 }[/math]。第二架飞机将总是被使用，因为

[math]\displaystyle{ {t_{oc}} + {t_m} + {t_{bc}} + {t_{rep}} + {t_{Al}} \gt {t_m} \qquad \forall {t_m} \ge 0 }[/math]

第三架飞机将被使用当且仅当

[math]\displaystyle{ {t_{oc}} + {t_m} + {t_{bc}} + {t_{rep}} + {t_{Al}} \gt {2t_m} \qquad \forall {t_m} \ge 0 }[/math]

但当[math]\displaystyle{ {t_{oc}} + {t_m} + {t_{bc}} + {t_{rep}} + {t_{Al}} \lt {2t_m} }[/math]时，第三架飞机不会被使用因为第一架飞机已经完成了整备可以再次起飞。同理可得当

[math]\displaystyle{ {t_{oc}} + {t_m} + {t_{bc}} + {t_{rep}} + {t_{Al}} \lt {(a-1)t_m} \qquad \forall {t_m} \ge 0 }[/math]

第一架飞机将起飞代替第a架飞机。

因此我们可以得到a的一个表达式

[math]\displaystyle{ a \ge \frac{{{t_{oc}} + {t_m} + {t_{bc}} + {t_{rep}} + {t_{Al}}}}{{{t_m}}} + 1 \qquad t_m \ge 0 }[/math]

由于a是整数且是维持一个激活的CAP站位所需的最小飞机数量，因此

[math]\displaystyle{ a = \frac{{{t_{oc}} + {t_m} + {t_{bc}} + {t_{rep}} + {t_{Al}}}}{{{t_m}}} + 2 \qquad t_m \ge 0 }[/math]