场景

我们首先称在特定地理位置上的一组需要部署防空的敏感点，作目标区域。空袭都是由战斗机 - 轰炸机来执行渗透式打击，他们会在某个特定渗透点进入目标区域。而目标区域都是由集成式防空系统（IADS）来保护免受空袭。IADS作为路基系统可以提供早期预警雷达（EWR）探测和指挥控制通信（C3）能力，而在特定机场上也会部署有特定数量的防空拦截机提供空中防卫，这些防空拦截机在起飞后会在渗透区前进行战斗空中巡逻，即CAP。这些歼击机会去拦截并和来袭敌机进行交战，他们也会在巡逻期间没有看到来犯敌机时，在到达预定巡逻时间后返航。目标区域周围存在一个由防卫该区域的防空武器的有效射程确定的空中空间体积。防空拦截机不得飞越这个空间体积，以免被友方武器击中。为了完成任务，拦截机必须在敌机飞入此体积之前或之中摧毁尽可能多的攻击机。

问题定义

问题条件：

目标区域
空军基地位置
袭击的突防角度扇区，以目标区域位置为中心测量
从目标区域位置测量的雷达网络的预警范围
目标区域的地对空导弹有效范围
根据拦截机的最大数量、挂载库存，确定放置战斗空中巡逻（CAP）点的位置，以最大程度地提高敌机在到达防空防线之前由空中拦截机摧毁的预计数量。

空战模型

对于单个空中拦截单位（AI）单轮发射能达成击杀（PK）的概率模型如下：

[math]\displaystyle{ PK=P_{ai}\ P_v\ P_d\ P_t\ P_c\ P_l\ SSPK }[/math]

其中：

[math]\displaystyle{ P_{ai} }[/math] 是存在AI单位且收到拦截警报的概率
[math]\displaystyle{ P_{v} }[/math] 是AI单位正确朝向拦截航向的概率，此概率前提是存在[math]\displaystyle{ P_{ai} }[/math]
[math]\displaystyle{ P_{d} }[/math] 是AI单位探测到目标的概率，此值前提是正确拦截航向
[math]\displaystyle{ P_{t} }[/math] 是AI单位雷达能正常追踪目标信号的概率，此值前提是能探测到目标
[math]\displaystyle{ P_{c} }[/math] 是AI单位进行能量转换概率，此值前提是正常追踪目标
[math]\displaystyle{ P_{l} }[/math] 是AI单位发射武器概率，此值前提是进行能量转换
[math]\displaystyle{ SSPK }[/math] 单轮发射能达成一次击杀的概率

可以代入以下3种拦截状况：

雷达弹对头：使用AI的机载雷达并单次发射两枚导弹
雷达弹尾追：使用AI的机载雷达并单次发射两枚导弹
红外/视觉图像：尾追并使用光电传感器，单次进攻发射两枚红外弹

此时单轮发射击中概率可以细化为：

[math]\displaystyle{ \begin{align*} Pk_{T/E}&=Pd_{T/E}\cdot \{1-PS_{T/R}\cdot PS_{T/gun}\}\\ Pk_{H/E}&=Pd_{H/E}\cdot \{1-PS_{H/IR}\cdot PS_{H/gun} \cdot PS_{T/IR}\cdot PS_{T/gun}\}\\ Pk_{T/R}&=Pd_{T/R}\cdot \{1-PS_{T/R}\cdot PS_{T/IR}\cdot PS_{T/gun}\}\\ Pk_{H/R}&=Pd_{H/R}\cdot \{1-PS_{H/R}\cdot PS_{T/R}\cdot PS_{T/IR}\cdot PS_{T/gun}\} \end{align*} }[/math]

其中：

[math]\displaystyle{ Pk_{T/E} }[/math] 从尾追时使用光电锁定目标开始，一对一的情况下AI单位击杀来犯者的几率
[math]\displaystyle{ Pk_{H/E} }[/math] 从对头时使用光电锁定目标开始，一对一的情况下AI单位击杀来犯者的几率
[math]\displaystyle{ Pk_{T/R} }[/math] 从尾追时使用雷达锁定目标开始，一对一的情况下AI单位击杀来犯者的几率
[math]\displaystyle{ Pk_{H/R} }[/math] 从对头时使用雷达锁定目标开始，一对一的情况下AI单位击杀来犯者的几率

这些公式中拦截机武器击杀概率的前提是存在拦截机探测（和跟踪）目标的概率，即公式中的[math]\displaystyle{ Pd }[/math]。而公式中的[math]\displaystyle{ PS }[/math]代表了入侵机在拦截机的攻击/交汇后存活的概率。此值认为与前一轮交汇的存活概率无关。

在论文中这些公式也会考虑在恶劣环境状态下的效果。根据入侵者可能的战术，降低被拦截概率的战术可以分为以下6类：

电子反制（ECM）
红外反制（IRCM）
光学迷彩
逃逸机动
低雷达散射面积（RCS）
致命性自卫措施

CAP任务模型

ADA241986论文中介绍了一种描述CAP执勤时的模型。第一个问题是讨论如何确定单个CAP区需要多少架空中拦截单位。在确定了CAP任务的必要性后，下个问题是需要多少个永久的CAP区。以下是变量定义。

变量

[math]\displaystyle{ v_a }[/math]：来犯敌机的速度
[math]\displaystyle{ v_i }[/math]：拦截单位速度
[math]\displaystyle{ t_{ID} }[/math]：从预警雷达首次检测到攻击者到被明确识别为敌对所花时间
[math]\displaystyle{ t_{AI} }[/math]：所属地面警报拦截单位的飞机从收到紧急升空警报到从基地起飞所花时间
[math]\displaystyle{ t_{initc} }[/math]：从开始拦截到与被拦截者交战所花时间
[math]\displaystyle{ t_{cmb} }[/math]：拦截机能与被拦截者进行空对空战斗的最长时间
[math]\displaystyle{ t_{rec} }[/math]：拦截机从完成任务到飞回空军基地所需的时间长度
[math]\displaystyle{ t_{oc} }[/math]：拦截机从空军基地飞到 CAP 负责区所需的时间
[math]\displaystyle{ t_{bc} }[/math]：拦截单位从巡逻区回到基地所花时间
[math]\displaystyle{ C_R }[/math]：机场的地勤组数量
[math]\displaystyle{ t_{rep} }[/math]：地勤维修一架飞机的时间
[math]\displaystyle{ t_m }[/math]：在没有敌机来犯的情况下拦截单位可以待在巡逻区的最大时间
[math]\displaystyle{ t_a }[/math]：两组连续的敌机来犯时平均间隔时间
[math]\displaystyle{ R }[/math]：雷达侦察到第一个目标的水平距离。如：C3单位侦察到第一个单位的距离
[math]\displaystyle{ I }[/math]：敌我鉴别距离。目标被鉴别为敌人（hostile）时的距离。

CAP任务数学建模

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