建造期望公式理论推导
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2022-10-21更新
最新编辑:負けん気な瞳
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更新日期：2022-10-21
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前言
本文假设游戏的建造为不同角色相互独立的纯随机，以古典概型推导毕业所需建造次数的期望公式。
正文内容为纯数学推导，对于数学概念没有额外注解，需要有概率论相关基础知识方可阅读。
若文中的[math]\displaystyle{ \TeX }[/math]公式未正常加载请尝试刷新页面，较长的公式请左右划动查看。
若对数学内容不感兴趣，可参考如下简单结论：
(1) 毕业所需建造平均次数不仅与卡池中舰船的抽出概率有关，也与需要抽取的舰船数量有关。例如：目前常见的1彩1金1紫活动池平均需103次，既往常见的2金2紫活动池平均需94次，3金2紫的联动池平均需106次。
(2) 在毕业目标相同的情况下，若将原本在同一卡池中的角色拆分到两个卡池，毕业所需建造平均次数会增加。
碧蓝航线大建计算器可快捷计算不同卡池的毕业期望，在此对其作者给我称两斤节操致以谢意。
正文
毕业概率
记事件“获得角色A”为[math]\displaystyle{ A }[/math]，事件“获得角色B”为[math]\displaystyle{ B }[/math]。以毕业目标包含A、B两个角色为例，[math]\displaystyle{ n }[/math]次建造后毕业的概率记为[math]\displaystyle{ P_n(AB) }[/math]，即[math]\displaystyle{ n }[/math]次建造后既获得角色A又获得角色B的概率。
注意[math]\displaystyle{ A }[/math]、[math]\displaystyle{ B }[/math]不相互独立。为了计算这一概率，考虑对于任意两个事件[math]\displaystyle{ A }[/math]与[math]\displaystyle{ B }[/math]，[math]\displaystyle{ AB }[/math]与[math]\displaystyle{ \bar{A}B }[/math]互不相容，因此在古典概型中
[math]\displaystyle{ P(B)=P(AB)+P(\bar{A}B) }[/math]
反复运用这一公式，得到
[math]\displaystyle{ P_n(AB)=P_n(A)-P_n(A\bar{B})=1-P_n(\bar{A})-P_n(\bar{B})+P_n(\bar{A}\bar{B}) }[/math]
设角色A的抽出概率为[math]\displaystyle{ p_A }[/math]，角色B的抽出概率为[math]\displaystyle{ p_B }[/math]，则
[math]\displaystyle{ P_n(\bar{A})=(1-p_A)^n }[/math]（[math]\displaystyle{ n }[/math]次建造后未获得角色A）
[math]\displaystyle{ P_n(\bar{B})=(1-p_B)^n }[/math]（[math]\displaystyle{ n }[/math]次建造后未获得角色B）
[math]\displaystyle{ P_n(\bar{A}\bar{B})=(1-p_A-p_B)^n }[/math]（[math]\displaystyle{ n }[/math]次建造后未获得角色A与B）
因此
[math]\displaystyle{ P_n(AB)=1-(1-p_A)^n-(1-p_B)^n+(1-p_A-p_B)^n }[/math]
这一结论可以推广到更多角色的情况，设[math]\displaystyle{ S }[/math]为必然事件，将[math]\displaystyle{ P(B)=P(AB)+P(\bar{A}B) }[/math]稍作变形得到
[math]\displaystyle{ P((S-\bar{A})B)=P(SB)-P(\bar{A}B) }[/math]
即形式类似于乘法分配律，由此可得三个角色的情况为
[math]\displaystyle{ P_n(ABC) }[/math]
[math]\displaystyle{ =P_n((S-\bar{A})(S-\bar{B})(S-\bar{C})) }[/math]
[math]\displaystyle{ =P_n(SSS)-P_n(\bar{A}SS)-P_n(S\bar{B}S)-P_n(SS\bar{C})+P_n(\bar{A}\bar{B}S)+P_n(S\bar{B}\bar{C})+P_n(\bar{A}S\bar{C})-P_n(\bar{A}\bar{B}\bar{C}) }[/math]
[math]\displaystyle{ =1-P_n(\bar{A})-P_n(\bar{B})-P_n(\bar{C})+P_n(\bar{A}\bar{B})+P_n(\bar{B}\bar{C})+P_n(\bar{A}\bar{C})-P_n(\bar{A}\bar{B}\bar{C}) }[/math]
[math]\displaystyle{ =1-(1-p_A)^n-(1-p_B)^n-(1-p_C)^n+(1-p_A-p_B)^n+(1-p_B-p_C)^n+(1-p_A-p_C)^n-(1-p_A-p_B-p_C)^n }[/math]
顺带一提，大建计算器中的欧/亚/非是以毕业概率10%/50%/90%划定的。
毕业建造期望
[math]\displaystyle{ n }[/math]次建造后毕业可以拆分成两个互不相容事件，一是[math]\displaystyle{ n-1 }[/math]次建造后已毕业，二是[math]\displaystyle{ n-1 }[/math]次建造后未毕业而第[math]\displaystyle{ n }[/math]次建造后毕业。因此，恰好在第[math]\displaystyle{ n }[/math]次建造后毕业的概率为[math]\displaystyle{ P_n-P_{n-1} }[/math]，毕业所需建造次数期望为
[math]\displaystyle{ E=\sum_{n=1}^\infty n(P_n-P_{n-1}) }[/math]
依然以毕业目标包含A、B两个角色为例，计算可得
[math]\displaystyle{ P_n(AB)-P_{n-1}(AB) }[/math]
[math]\displaystyle{ =p_A(1-p_A)^{n-1}+p_B(1-p_B)^{n-1}-(p_A+p_B)(1-p_A-p_B)^{n-1} }[/math]
利用公式
[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty np(1-p)^{n-1}=\frac{1}{p} }[/math]
实际上这是几何分布的期望公式。可以得到
[math]\displaystyle{ E=\sum_{n=1}^\infty n(P_n(AB)-P_{n-1}(AB)) }[/math]
[math]\displaystyle{ =\sum_{n=1}^\infty n[p_A(1-p_A)^{n-1}+p_B(1-p_B)^{n-1}-(p_A+p_B)(1-p_A-p_B)^{n-1}] }[/math]
[math]\displaystyle{ =\frac{1}{p_A}+\frac{1}{p_B}-\frac{1}{p_A+p_B} }[/math]
更多角色的情况可以使用相同的方法计算。例如三个角色的情况为
[math]\displaystyle{ E=\frac{1}{p_A}+\frac{1}{p_B}+\frac{1}{p_C}-\frac{1}{p_A+p_B}-\frac{1}{p_B+p_C}-\frac{1}{p_A+p_C}+\frac{1}{p_A+p_B+p_C} }[/math]
注意到
[math]\displaystyle{ \frac{1}{p_A}+\frac{1}{p_B}-\frac{1}{p_A+p_B} \lt \frac{1}{p_A}+\frac{1}{p_B} }[/math]
即将A、B两个角色同池抽取所需期望要比分池抽取低。
特例：同概率对象
设[math]\displaystyle{ N }[/math]名不同角色抽出的概率均为[math]\displaystyle{ p }[/math]，运用上面的公式计算毕业建造期望。考虑到形如[math]\displaystyle{ \frac{1}{ip} }[/math]的项有[math]\displaystyle{ C^i_N }[/math]个（组合数），毕业期望
[math]\displaystyle{ E=\sum_{i=1}^N C^i_N(-1)^{i-1}\frac{1}{ip} }[/math]
[math]\displaystyle{ =\frac{1}{p}\sum_{i=1}^N C^i_N(-1)^{i-1}\frac{1}{i} }[/math]
为了避免计算组合数，将求和部分进行一定转化
[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^N C^i_N(-1)^{i-1}\frac{1}{i} }[/math]
[math]\displaystyle{ =\sum_{i=1}^N\left[C^i_N(-1)^{i-1}\int_{0}^{1} x^{i-1}{\rm d}x\right] }[/math]
[math]\displaystyle{ =\int_{0}^{1}\left[\sum_{i=1}^N C^i_N(-x)^{i-1}\right]{\rm d}x }[/math]
[math]\displaystyle{ =\int_{0}^{1}\frac{1-\sum_{i=0}^N C^i_N(-x)^{i}}{x}{\rm d}x }[/math]
[math]\displaystyle{ =\int_{0}^{1}\frac{1-(1-x)^N}{x}{\rm d}x }[/math]（二项式定理）
[math]\displaystyle{ =\int_{0}^{1}\frac{1-t^N}{1-t}{\rm d}x }[/math]（换元积分）
[math]\displaystyle{ =\int_{0}^{1}\left[\sum_{i=1}^N t^{i-1}\right]{\rm d}x }[/math]
[math]\displaystyle{ =\sum_{i=1}^N\left[\int_{0}^{1}t^{i-1}{\rm d}x\right] }[/math]
[math]\displaystyle{ =\sum_{i=1}^N \frac{1}{i} }[/math]
因此，同概率角色的毕业期望为
[math]\displaystyle{ E=\frac{1}{p}\sum_{i=1}^N \frac{1}{i} }[/math]
卡池中存在一批角色平分概率时，这一公式可以较为方便地计算毕业期望。例如，勋章支援系统中，精锐舰船的获取概率为10%，总数为28名，其实4名仅限勋章支援获取。如果要抽取全部4名角色，所需期望次数为：
[math]\displaystyle{ E=\frac{1}{0.1/28}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)=583.33 }[/math]
折合所需勋章期望为3500个。
保底机制
碧蓝航线的保底机制是抽卡次数达到指定次数即可额外领取保底角色。设卡池中有A、B、C三个角色，其中角色C具有保底次数[math]\displaystyle{ k }[/math]，则建造次数达到[math]\displaystyle{ k }[/math]后，事件[math]\displaystyle{ C }[/math]为必然事件[math]\displaystyle{ S }[/math]，因此
[math]\displaystyle{
P_{n}=\left\{\begin{array}{ll}
P_{n}(ABC)&n\lt k\\
P_{n}(AB)&n\ge k
\end{array}\right.
}[/math]
保底将导致[math]\displaystyle{ P_{n} }[/math]在[math]\displaystyle{ n=k }[/math]时出现跃变。
建造期望计算公式仍为
[math]\displaystyle{ E=\sum_{n=1}^\infty n(P_n-P_{n-1}) }[/math]
但由于在[math]\displaystyle{ n=k }[/math]时出现跃变，具体计算流程有所不同。设
[math]\displaystyle{
P_{n}=\left\{\begin{array}{ll}
P^1_{n}&n\lt k\\
P^2_{n}&n\ge k
\end{array}\right.
}[/math]
则有
[math]\displaystyle{ E=\sum_{n=1}^\infty n(P_n-P_{n-1}) }[/math]
[math]\displaystyle{ =\sum_{n=1}^{k-1} n(P^1_n-P^1_{n-1})+k(P^2_k-P^1_{k-1})+\sum_{n=k+1}^\infty n(P^2_n-P^2_{n-1}) }[/math]
[math]\displaystyle{ =\sum_{n=1}^\infty n(P^1_n-P^1_{n-1})-\sum_{n=k}^\infty n(P^1_n-P^1_{n-1})+k(P^2_k-P^1_{k-1})+\sum_{n=k+1}^\infty n(P^2_n-P^2_{n-1}) }[/math]
其中第一项为无保底情况下的期望。
具体计算时，再引入公式
[math]\displaystyle{ \sum_{n=k}^\infty np(1-p)^{n-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ =\sum_{m=1}^\infty (m+k-1)p(1-p)^{m+k-2} }[/math]
[math]\displaystyle{ =(1-p)^{k-1}\sum_{m=1}^\infty (m+k-1)p(1-p)^{m-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ =(1-p)^{k-1}\left[\sum_{m=1}^\infty mp(1-p)^{m-1}+(k-1)\sum_{m=1}^\infty p(1-p)^{m-1}\right] }[/math]
[math]\displaystyle{ =(1-p)^{k-1}\left(\frac{1}{p}+k-1\right) }[/math]
由此便可以计算出期望[math]\displaystyle{ E }[/math]中的每一项。若有多个保底角色只需再引入跃变点，不再赘述。
算例
[math]\displaystyle{ p_A=0.025 }[/math]，[math]\displaystyle{ p_B=0.02 }[/math]，[math]\displaystyle{ p_C=0.012 }[/math]且[math]\displaystyle{ k_C=200 }[/math]（保底）。此时
[math]\displaystyle{
P_{n}=\left\{\begin{array}{ll}
P_{n}(ABC)&n\lt 200\\
P_{n}(AB)&n\ge 200
\end{array}\right.
}[/math]
其中
[math]\displaystyle{ P_n(ABC)=1-0.975^n-0.98^n-0.988^n+0.955^n+0.968^n+0.963^n-0.943^n }[/math]
[math]\displaystyle{ P_n(AB)=1-0.975^n-0.98^n+0.955^n }[/math]
计算期望有
[math]\displaystyle{ E=\sum_{n=1}^\infty n(P_{n}(ABC)-P_{n-1}(ABC))-\sum_{n=200}^\infty n(P_{n}(ABC)-P_{n-1}(ABC))+200(P_{200}(AB)-P_{199}(ABC))+\sum_{n=201}^\infty n(P_{n}(AB)-P_{n-1}(AB)) }[/math]
分别计算
[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty n(P_{n}(ABC)-P_{n-1}(ABC)) }[/math]
[math]\displaystyle{ =\frac{1}{0.025}+\frac{1}{0.02}+\frac{1}{0.012}-\frac{1}{0.045}-\frac{1}{0.032}-\frac{1}{0.037}+\frac{1}{0.057} }[/math]
[math]\displaystyle{ =110.38 }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{n=200}^\infty n(P_{n}(ABC)-P_{n-1}(ABC)) }[/math]
[math]\displaystyle{ =0.975^{199}\left(\frac{1}{0.025}+199\right)+0.98^{199}\left(\frac{1}{0.02}+199\right)+0.988^{199}\left(\frac{1}{0.012}+199\right)-0.955^{199}\left(\frac{1}{0.045}+199\right)-0.968^{199}\left(\frac{1}{0.032}+199\right)-0.963^{199}\left(\frac{1}{0.037}+199\right)+0.943^{199}\left(\frac{1}{0.057}+199\right) }[/math]
[math]\displaystyle{ =31.07 }[/math]
[math]\displaystyle{ 200(P_{200}(AB)-P_{199}(ABC))=17.78 }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{n=201}^\infty n(P_{n}(AB)-P_{n-1}(AB)) }[/math]
[math]\displaystyle{ =0.975^{200}\left(\frac{1}{0.025}+200\right)+0.98^{200}\left(\frac{1}{0.02}+200\right)-0.955^{200}\left(\frac{1}{0.045}+200\right) }[/math]
[math]\displaystyle{ =5.89 }[/math]
最终得到
[math]\displaystyle{ E=110.38-31.07+17.78+5.89=102.99 }[/math]
毕业目标包含多个角色的情况计算较为繁琐，一般通过编程实现。
沪公网安备 31011002002714 号