技能覆盖率计算公式
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2023-03-16更新
最新编辑:負けん気な瞳
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更新日期：2023-03-16
最新编辑：負けん気な瞳
目前存在的问题：没有补充结尾处的名单，请大家以数学推导、证明过程为主，核心是给出的公式。
常陆茉子审核意见：暂只计算了主炮触发覆盖主炮的情况，并不能代表主炮开炮....使得鱼雷/防空炮如何如何等的情况，此时使用主炮代替会有一些误差。
本条只能适用于：开炮时，对本武器附加某种加成，不涉及其他武器；或开炮时，获得某种buff，且对这种buff只需要计算平均覆盖率。
填写主炮CD时，请注意卡炮、前后摇、开火时间等的影响。
使用情况与预设参数
使公式绝对准确的必要条件：触发条件为“开炮/防空炮时”，且开炮间隔固定。
（目前由于卡炮等问题，开火间隔并不固定，这对以下a、b的取值会有很大影响（要取整），因此只能用于计算开火间隔固定的情况。否则就要请出计算机，模拟前排移动和卡炮了。）
其实不止是技能，例如点燃、命中敌人时，甚至受击等等，也可以等效视为某种的开炮时的技能。
只要他满足了触发时机（在内置cd外时）的间隔固定这一最重要的条件即可
其实略微不固定也可，主要是不能使得下述a、b的值取整后变动，从而影响公式
因此需要主炮尽量不卡炮、防空圈内一直有飞机等
若变动较大，则本公式准确性会下降，
但也可以将实战中可能出现的不同的值分别代入，大致估计实际情况波动范围
另外也不太适用于多底座开火的情况，因为不同底座时间间隔较短
但由于正常情况下不同底座开炮时间间隔极短，在计算随时间的覆盖率时，可近似视为两炮同时发射，从而满足使用条件，例如休斯敦（不过目前主要用于单底座驱逐等，此时没有误差）
而其他情况若实在不满足开炮间隔固定，则情况会变得极多，但若cd覆盖的轮数均较短，也可以通过枚举计算之，如布莱默顿，见专栏[1]（最后三种情况计算有小错误）
设技能描述为：开炮时，有c概率，使得接下来t2秒内，获得某效果，内置cd为t1，每两轮炮开火间隔（即每轮cd）为T
则设（以下均向下取整，注意每轮cd需加上前后摇）
内置cd/每轮cd+1=[t1/T]+1=a轮，即内置cd覆盖的开炮次数（触发技能的那一炮也算）
持续时间/每轮cd+1=[t2/T]+1=b轮，即技能触发覆盖的开炮次数（触发技能的那一炮也算）
abc即为所需要的所有参数
增伤技能
具体的来说，若此技能只与触发技能对应的炮有关（大部分情况就是主炮增伤）
也就是你只关心开火时这个时间点是否在覆盖之下，则适用此情况
设k为无穷轮覆盖率，即无穷轮后每次开炮时有多少概率在技能覆盖之下
则：
当内置cd≥覆盖cd时，k=bc/(ac-c+1)
当内置cd＜覆盖cd时，k=1-(1-ac/(ac-c+1))*(1-c)^(b-a)
若触发当前轮无法被覆盖到，则将b的值计算时不+1即可
对内置cd≥覆盖cd时的简单不严谨证明：设有N次可判定触发的机会，那么(1-c)N次不触发，cN次触发，而触发一次会有额外(a-1)炮无法触发，所以一共打了(a-1)cN+N=(ac-c+1)N次炮，平均触发率为cN/(ac-c+1)N，而触发一次就覆盖b轮，因此覆盖率为k=bc/(ac-c+1)
证明：设第i轮炮时触发技能的概率为xi
首先我们设a,b≥3，在n较小时寻找规律
则x1=c，x2=c(1-x1)
注意到x1和x2不可能同时发生，即概率独立
因此x3=c(1-x1-x2)，而非c(1-x1)(1-x2)
同理立得第a轮炮触发必须前(a-1)轮不触发且该轮触发
任何情况下的递推式为x1=c
xn=c(1-xn-1-xn-2-…-xn-a+1)(n-i均为角标，当i≤0时xi=0)
设发射第i轮炮时正在技能覆盖范围内的概率为ki，则（注意到本轮触发时本轮也可被覆盖）
当b≤a时，
本轮被覆盖当且仅当前b轮中触发一轮，且前几轮概率独立，不可能触发一轮以上
（或者理解成xn的概率不只是概率触发，而是蕴含着必须前(a-1)轮不触发）
因此kn=xn+xn-1+xn-2+…+x(n-b+1)(n-i均为角标，当i≤0时xi=0)
当b＞a时，
本轮不被覆盖当且仅当前b轮都不触发，
而这b轮中的前a轮同时不触发的概率为1-∑xi，∑xi为这a轮对应概率之和，因为概率独立
而在概率为（1-∑xi），即前a轮都不触发的情况下，这b轮中的第a+1轮触发概率就是c
同理，在概率为(1-∑xi)(1-c)，即前a+1轮都不触发的情况下，第a+2轮的触发概率也就是c
综上1-kn=(1-c)^n（当n≤b-a时）
1-kn=[1-x(n-b+1)-x(n-b+2)-x(n-b+3)-…-x(n-b+a)](1-c)^(b-a)（当n≥b-a时）①
若b轮不包括本轮（即触发当轮不享受buff），则把所有x的角标-1即可
（本段为验证）事实上，易知n≤a时kn都应等于(1-c)^n，下验证此是否与①吻合
易验证x1=c,x2=c(1-c),1-x1-x2=(1-c)^2，符合公式①
易用数学归纳法证明，当n≤a时
x1+x2+…+xn=1-[(1-c)^(n-1)-c(1-c)^(n-1)]=1-(1-c)^n，
xn= c(1-xn-1-xn-2-…-xn-a)=c(1-x1-x2-…-xn-1)=c(1-c)^(n-1)
因此与①吻合
综上我们就得出了任何轮次下的触发概率{xn}和被覆盖概率{kn}，如果只想知道某一轮或者前几轮的覆盖概率，直接在{kn}中取用或取前n项平均即可。注意如果是防空炮类间隔式的，需要间隔时间大于内置cd才能用前n轮的算法，否则后面不等于重新开始。
而无穷轮后即递推式中所有的k和x都相等（收敛性证明略），则：
x/c=1-（a-1）x，解得x=c/(ac-c+1)
k=bx（b≤a时）
k=1-(1-ax)*(1-c)^(b-a)（b≥a时）
即得公式
例：内置cd＞覆盖cd的例子：
连续飞机海下（防空炮不间断开火），速射金坷垃（防空炮开火间隔在1.33s以内）覆盖率55.26%，正常慢速金坷垃覆盖率51.43%
连续飞机海下，技能【防空模式】正常覆盖率3/7=42.86%，超速射（防空炮开火间隔在1.25s以内）覆盖率37.5%
内置cd＜覆盖cd的例子：
计8s5轮炮，5s3轮炮（金凯旋射速1.7-1.8s） ，御三家技能覆盖率为22.06%
拉菲装填提升后射速1.3s，计8s7轮炮，5s4轮炮，则覆盖率为29.17%
若使用紫双联120等方法使射速进1.6s，8s6轮炮，5s4轮炮，则覆盖率为25.45%
其他技能
具体的来说，若此技能与触发技能的炮无关（大部分情况就是增肉技能，但一些主炮触发鱼雷，防空炮触发主炮等，若只关心时间上的覆盖率，不要求精确计算发射时是否卡在时间内，也可使用此情况估计）
也就是你关心的是所有时间段下的平均覆盖情况，则适用此情况
设K为此时无穷轮覆盖率，即无穷轮后在技能覆盖之下的时间占总时长的比例
另外设B=t2/T=持续时间/每轮cd，（不取整+1）
b-B=β
则：
当内置cd≥覆盖cd时，K=Bc/(ac-c+1)，
当内置cd＜覆盖cd时，K=1-[1-(a-β）c/(ac-c+1)]*(1-c)^(b-a)
对内置cd≥覆盖cd时的简单不严谨证明（同上）：设有N次可判定触发的机会，那么(1-c)N次不触发，cN次触发，而触发一次会有额外(a-1)炮无法触发，所以一共打了(a-1)cN+N=(ac-c+1)N次炮，平均触发率为cN/(ac-c+1)N，而触发一次就覆盖B时间，因此覆盖率为k=Bc/(ac-c+1)
证明：设B=持续时间（t）/每轮cd，b-B=β
之前的{kn}实际为某一炮发射时在覆盖期间的概率，
而此时只有两种情况，一种是直到下一炮开火都一直在覆盖时间内（下记两炮之间的“时间段”为“一轮”，炮为时间点）
一种是覆盖此轮的前(1-β)轮就停止，后β轮未被覆盖到
设qn为第n炮和n+1炮之间，只被部分覆盖到（即比整轮少覆盖β轮）的概率
设所求第n炮到n+1炮之间这段时间的平均覆盖率为Kn
则Kn=kn-βqn
而本轮被部分覆盖当且仅当之前第b炮触发，后面全不触发，
类似之前kn的所求过程，当b≤a时，qn=x(n-b+1)
Kn=kn-βqn=xn+x(n-1)+x(n-2)+…+x(n-b+2)+(1-β)x(n-b+1)
无穷轮后K=(b-β)x=Bx
事实上，此时每次触发技能后均覆盖B轮满收益,
因此无穷轮的平均收益仍为k=Bx,只是将b换成B而已。
当b＞a时,类似得qn=x(n-b+1)(1-c)^(b-a)（仅n≥b-a时，否则qn＝0）
因此Kn=1-(1-c)^n（当n＜b-a时）
Kn=1-[1-(1-β)x(n-b+1)-x(n-b+2)-x(n-b+3)-…-x(n-b+a)](1-c)^(b-a)（当n≥b-a时）
无穷轮后K=1-(1-ax+βx)*(1-c)^(b-a)
另外，也可求设任一时间点的被覆盖概率
仍设其为kn（n可取任意实数，n=此时时间/每轮时间+1，即第一轮开炮记为时间轴上点0，和k1）
与之前同理，kn时刻被覆盖当且仅当前B轮时间内至少触发一轮
因此当b≤a时，
kn=x[n]+x[n-1]+x[n-2]+…+x[n-B](除最后一个为向上取整外，[]均为向下取整。当i≤0时xi=0)
当b＞a时，
1-kn=(1-c)^n（当n＜b-a时）
1-kn=(1-x[n-B]-x[n-B+1]-x[n-B+2]-…-x[n-B+a-1])(1-c)^([n]-[n-B+a-1])（当n≥b-a时，注意除[n]为向下取整外，其他[]均为向上取整）
例：内置cd＞覆盖cd的例子：
无限飞机海下，1.5s防空圈射速时，防空模式对炮击的debuff影响覆盖率为2/7=28.57%，1.25射速时为30%，远小于对防空炮的覆盖率，因为触发时也能覆盖到
内置cd＜覆盖cd的例子：
绫波主炮0.82s时，覆盖率50.6%
休斯敦若近似视为每两轮底座合计36%触发率，则使用路易炮射速5.33s时，覆盖率66.7%；使用罗恩炮射速7.09s时，覆盖率54.9%
总结
虽然此方法计算的是无穷轮的情况，但证明部分主要算的是有限轮内容，可以算出整个时间轴上每个点的触发率和覆盖率，并不是只能算无穷轮，只不过有限轮时情况繁多，只能展示无穷轮的平均值
实际有限轮的大致情况是，第一轮被覆盖到的概率只有c，第二轮1-(1-c)^2，之后覆盖率会上下波动着迅速增加，迅速逼近求得的k/K，但有限轮的总轮数小于技能每次覆盖轮数b时，一定会离k有很大距离，此时建议用证明中有限轮前期覆盖率来取值计算，例如防空炮只有3轮时，金坷垃覆盖率从51.4%下降至27.1%（未考虑覆盖到下一波飞机的情况）；而防空模式因为其对应的b=3，因此覆盖率从42.9%变为42.2%，但仍不是超过。因此k大致可以视为覆盖率的最大值（c＜k），且在轮数较多时容易逼近
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